Гранулярный синтез 1.2 и 1.3 (история - Габор)

Продолжаем приобщаться к дозированным порциям гранулярного синтеза.


1.2 Теория звуковых частиц

Благодаря исследованиям Галилео и его последователей волновая теория звука обрела популярность и признание. В то время пока волновая теория становилась все более популярной, развивалась и атомная теория. Достаточно распространенным было мнение о том, что не может существовать того, что является настолько маленьким, что его невозможно увидеть. Изобретение же микроскопа Антони ван Леойвенхеком повлекло за собой переосмысливание многих научных теорий, а также принятию атомной теории широкой общественностью. Леойвенхек разработал высокоточную линзу способную увеличивать объекты в 200 раз без искажений. Непосредственное наблюдение капли воды через микроскоп показало, что она кишит жизнью, напоминая переполненный город.

Данное изобретение открыло ворота к новому миру - микромиру. Оно позволило людям увидеть, то, что они не могли увидеть невооруженным глазом, а также породило множество новых философских вопросов бытия. Например, насколько мал, может быть объект? Подобны ли эти микромиры нашему? Быть может, мы тоже являемся микроорганизмами в линзе еще большего вида? Эти мысли сподвигли Джонатана Свифта к написанию книги «Путешествия Гулливера», развивающей данные идеи. Свифт так же создал небольшое стихотворение, в котором раскрыл сущность микроскопа:

So, naturalists observe, a flea

Hath smaller fleas that on him prey;

And these have smaller still to bite 'em;

And so proceed ad infnitum.

Короткое стихотворение наводит на размышления о том, что если мог бы быть создан еще более мощный микроскоп, то неизвестно, сколько еще микромиров можно открыть. Данная идея была развита Лейбницем до целой теории, названной continuistic теорией. Такой ход мысли шел в разрез с атомной теорией, гласящей о том, что атом является неделимой частицей. Все это происходило незадолго до того, как ученые открыли, что атомы фактически состоят из более дискретных элементов. Несмотря на это, атомная теория все еще держала превосходство. И хотя атомная теория продолжала доминировать, волновая теория удерживала пальму первенства в исследованиях связанных со светом и звуком. Фактически, ученый Кларк Максвелл использовал continuistic теорию в контексте теории волны, выдвинув гипотезу о том, что свет и электричество передаются в виде колебаний непрерывной среды, известной как светоносный эфир.

Он так и не смог доказать данную теорию, и в 1900 году Макс Планк признал что Максвелл был неправ. Планк также утверждал, что свет не непрерывен, состоит из гранул и может быть разделен на мельчайшие атомные частицы, названные квантами. Теория квантов стала началом квантовой физики. Планк обнаружил определенное число 6.6260755x10-34, именуемое как постоянная Планка (h). Постоянная Планка определяет связь между частотой (f), энергией (E) и радиацией согласно уравнению

f=E/h

Это уравнение было основанием для дальнейших исследований в области квантовой физики, а также звука.

Альберт Эйнштейн сделал свой первый крупный вклад в квантовую физику в 1905 году, когда обнаружил, что постоянная Планка может быть использована для определения многих значений различных процессов происходящих в квантовой физике, например световое излучение. Это в свою очередь явилось доказательством того что свет, а вместе с ним и звук, состоят из дискретных частиц. В 1907 году Эйнштейн ввел понятие о фононах в атомной структуре звука, основанного на фотонах (световых частиц).

С приходом квантовой физики появился и новый способ анализа звука. До этих пор анализ звука производился только с точки зрения волновой теории. Волновая теория по своей сути является двумерной и использует частоту и интенсивность. Такое положение дел являлось прекрасной средой для Преобразования Фурье (FT), так как Преобразование Фурье предполагает, что волна является бесконечной во времени. Преобразование Фурье используется для разложения сложных волн на сумму простых синусоид. Стало очевидно, что данный вид анализа, несмотря на то, что он был чрезвычайно полезным, мало где реализуем на практике. В контексте использования квантовой физики и теории частиц для анализа звука, к уравнению было добавлено третье измерение – время.

1.3 Гранула Габора

Деннис Габор был физиком, получившим Нобелевскую премию в 1968 году за изобретение голографии. Габор являлся человеком, которого очень беспокоили ограничения Преобразования Фурье. Он разработал оконную систему, которую он использовал для анализа и воспроизведения звука. Его исследование началось с анализа Преобразования Фурье и других видов анализа звука, где он отметил определенные недостатки. Он представил количественный подход к анализу звуковых сигналов. Далее Габор приблизился к более практическим сферам и начал исследование, касающееся того, каким образом человеческое ухо слышит звуки, и как звуки могут быть проанализированы. Таким образом, в дальнейшем был открыт квант звука, являющийся мельчайшей неделимой частицей звуковой информации, необходимой для слухового различения. Используя данную информацию об интерпретации звука, Габор предложил количественный подход к его анализу, который также можно использовать для воспроизведения звука пропуская сигнал сквозь узкий частотный диапазон, на основе его теории элементарных сигналов.

1.3.1 Анализ сигнала

Исследования Габора начались из-за необходимости снижения объема данных в сетях связи. В 1930-х годах инженеры связи обнаружили, что ширина волнового диапазона для передачи данных имеет прямую связь с количеством информации передаваемой в единицу времени. Необходимость в снижении пропускной способности возникла с 1924 года, а Найквист
и Кумпфмюллер обнаружили, что количество телеграфных сигналов, которые могут быть переданы по одной линии прямо пропорционально пропускной способности. Теория связи была построена на основе анализа Фурье. Проблема заключалась лишь в том, что преобразование Фурье представляет любой сигнал в виде суммы синусоид постоянной частоты.

Хотя это математически правильно, но такой алгоритм плохо сочетается с нашим восприятием звука.

Габор сделал следующее заявление относительно преобразования Фурье: «Хотя математически эта теорема и верна, но даже эксперты не могут порой скрыть неприятное чувство, когда дело доходит до физической интерпретации результатов, полученных методом Фурье».

Карсон, современник Габора, который также занимался исследованиями в сфере анализа звука, сделал следующее заявление относительно преобразования Фурье: «Вышеупомянутые методы, хотя, несомненно, математически верны, несколько сложны в согласовании с нашим физическим восприятием».

В строгом математическом смысле термин «частота» относится к бесконечной и неизменной волне, а переменная частота вызывает противоречие в терминологии. Вот почему преобразование Фурье становится менее полезным, поскольку оно предполагает наличие постоянной и непрерывной частоты.

Карсон говорил о нашем физическом восприятии. Он отметил, что все слова и музыка обладают как временной, так и частотной составляющей. В музыке, можно даже назвать обычным явлением возможность изменить одну из этих составляющих, не затрагивая другую. Например, песня может сохранить тот же временной интервал и темп, но будет исполнена на другой базовой частоте, в другой тональности. Та же песня может сохранить свою тональность, но будет исполнена в другом темпе. И тональность, и время могут изменяться на протяжении всей песни, при этом она так же может быть определена как одно и то же музыкальное произведение. Оба параметра дополняют друг друга и работают вместе, для создания того, что интуитивно воспринимается как речь и музыка.

Используя квантовую механику, Габор пересмотрел преобразование Фурье, и создал уравнение, выражающее сигнал с точки зрения частоты и времени.

Исходя из уравнения Планка

f=E/h

было просто необходимо определить, каким образом время связано с энергией и заменить соответствующее значение. При этом производя замену, он учитывал тот факт, что теперь он имел дело не с частотой бесконечной продолжительности. Теперь частота выражалась в виде комплексной синус функции. Так как частота теперь находилась в прямой зависимости от времени, это означало, что он теперь мог математически исследовать определенные разделы, более плотно используя windowing (Windowing частоты или любого другого математического уравнения означает - определение области между двумя заданными точками. Обычно это делается вдоль оси х. Данный метод позволяет решить уравнение с получением определенного ответа, который будет действителен только между двумя точками окна (window)).

После этого Габор отстранился от квантовой механики и внес, некоторые дополнительные изменения в уравнение, разработав систему в виде сетки.

Вместо того чтобы просто использовать сигнал в прямоугольный форме в связке со временем, Габор решил обработать сигнал с помощью вероятностной огибающей. То, что он делал, являлось попыткой захвата простейших сигналов.

В итоге его уравнение выглядело следующим образом:

где a - вещественная постоянная.

Первая часть уравнения

определяет вероятностную кривую, в то время как вторая часть,

на которую она умножена, определяет комплексный аналог синус функции в пределах гранулы, с частотой f0 .

Компоненты и определяются уравнениями :

Габор пришел к выводу, что временные и частотные области могут быть преобразованы в матрицу с помощью соотношения.

Подставляя различные константы , Габор смог построить матрицу
простейших сигналов. Пример такой матрицы можно увидеть на рисунке 1.1.



Рисунок 1.1 Представление сигнала в виде матрицы комплексных амплитуд


Габор знал о принципе неопределенности Гейзенберга, касающегося частиц субатомного уровня, в котором Гейзенберг продемонстрировал, что чем более точно вы определяете положение электрона, тем меньше вы знаете о его скорости и наоборот. Габор понял, что время и частота по своей природе являлись противоположными величинами и то, что при концентрации на одной величине другая станет менее точно определена. Временная размытость проявляется в виде наложения временных областей, говоря иными словами, в виде эха и реверберации. Частотная размытость проявляется в виде наложения частотных областей, иными словами частотной зашумленностью. Для получения точного временного значения ему бы пришлось проанализировать более широкой диапазон частот, и, наоборот, для получения точного частотного значения ему бы пришлось анализировать большие временные интервалы. На основании исследований, проведенных В. Паули, Габор установил, что размер области должен определяться соотношением.

Хотя позже он немного изменил данное соотношение до следующего вида:

Все достаточно просто, если сэмплу должна соответствовать полоса пропускания 100 Гц, то тогда временной промежуток должен составить как минимум 10 миллисекунд потому как 100Гц х 0.01с = 1.

Таким образом, простейший сигнал может быть представлен в виде прямоугольника с шириной и высотой и , и каждый прямоугольник может быть помещен в сетку, дабы покрыть весь частотно-временной спектр. Как показано на рисунке 1.2, амплитуде каждого простейшего сигнала соответствует свой прямоугольник в сетке.

Рисунок 1.2 Представление сигнала в виде частотно-временной сетки.


Габор предложил назвать прямоугольник и связанные с ним данные logon’ом, или говоря по-русски входом. Каждый вход имеет постоянную частоту, ну а в матрице входов, все частоты составлены в ряд.

Голландский ученый Мартин Бастианс работал над изучением и расширением данного вида анализа в течение многих лет. Первоначально он написал статью, в 1980 году, в которой он проверял и расширял элементарное уравнение сигнала Габора. Позже он расширил данную теорию, предложив заменить прямоугольную сетку на сетку в виде шахматной доски (или гексагональной) с помощью преобразования Зака. Работы Бастианса продемонстрировали собой улучшенные функции выделения элементарных сигналов.

1.3.2 Слуховой анализ

Определив входы, Габор поставил перед собой задачу выявить, сколько входов требуется для воспроизведения речи или музыки, неотличимых на слух от оригинала. Бёрк, Котовский и Лихте незадолго да этого провели ряд экспериментов, касающихся определения минимальных требований к различимости звуков. Они сделали следующее наблюдение: «При 500 и 1000 Гц, минимальная продолжительность, при которой тон может быть корректно определен, составила около 10 мс.

Затем они продолжили свои испытания, добавив второе значение. Поступив, так же, как и с тональностью, они удвоили интенсивность тона. Итогом стал следующий вывод: «Для частоты 500 Гц. Спустя 10 мс сигнал легко определялся как тон. Но если он длился менее 21 мс, ухо не успевает перестроиться для восприятия второго значения».

На 1000 Гц длительность тона составила 30 мс прежде, чем слух смог воспринять следующий сигнал.

Габор сравнил данные результаты со своими исследованиями. Он сравнил единичную величину сигнала с logon’ом, поскольку каждый logon системы содержал только простейший сигнал с единичной величиной. Габор рассмотрел эти результаты с точки зрения области, и выявил, что соотношение длительности распознавания второго отсчета выглядит как 2.1:1 на 500 Гц, и 3:1 на 1000 Гц.

Другие ученые Шауэр и Биддулф провели дальнейшие исследования, касающиеся распознавания звуков. Ими были проведены тесты, чтобы определить насколько быстро человеческое ухо может различить изменение частоты. Опыт был произведен путем модуляции частоты в пределах небольшой полосы частот. Измерения оценивали временной промежуток необходимый слушателю для того, чтобы различить переход от чистого тона до трели, для того, чтобы отличить небольшое изменение частоты при идеальных условиях, испытуемым потребовалось 250 мс.

Габор сравнил области сетки из экспериментов и пришел к выводу, что области имеют значение приблизительно равное 1. Это как раз и было тем, что он предполагал относительно каждого logon’а системы изначально. Данные области представлены графически на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 Пороговые области слуха на 500 Гц.

Основной задачей данного исследования являлся поиск способа, при котором возможно обмануть человеческое ухо. Ну, а простейший вывод этих экспериментов заключается в том, что идеальное ухо в оптимальном частотном диапазоне способно различить один акустический квант, но не полностью, что в свою очередь открывает нам возможности обмана слуха.